在有复数计算功能的计算器上进行复数与相量的计算

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前言

为了满足大家希望更好地使用手中的科学计算器的需求，理解与熟悉计算器上的各种功能，提高在各类科学计算器应用场合下（特别是考试）的计算器使用效率，我们特别策划了一些计算器基本使用方法的系列文章，讲解科学计算器上一些比较常用的功能的使用，方便大家学习与交流。

本次要向大家介绍的内容是如何使用计算器计算复数与相量的“基础篇”，涉及到的内容包括使用科学计算器进行复数（相量）的四则运算、整数次幂等计算。如果这些都已经掌握，可以进一步阅读复数与向量计算的“提高篇”文章：

電卓院亜紀良：使用科学计算器计算复数与相量（提高篇）

复数功能一般只在旗舰型号的计算器上才配备，例如卡西欧（CASIO）的fx-991CN X、fx-991ES PLUS，以及夏普的EL-W991TL等等。然而对于其他非旗舰型号的计算器用户来说，由于计算器不具备复数计算功能，因此无法直接在计算器上做复数计算，但是我们仍然可以通过复数的公式来解决一般的复数计算问题。在这篇文章中，我们先以具备复数计算功能型号的计算器为例进行讲解，然后讲解不具备复数计算功能的计算器间接完成复数计算的方法。这篇文章具体适用的型号如下：

——具备复数计算功能的计算器：

【卡西欧（CASIO）】

fx-991CN X 中文版、fx-991ES PLUS

【夏普（SHARP）】

EL-W991TL

——不具备复数计算功能的计算器：

【卡西欧（CASIO）】

fx-82CN X 中文版、fx-82ES PLUS和fx-82ES PLUS A、

fx-350CN X 中文版、fx-350ES PLUS、

fx-95CN X 中文版、fx-95ES PLUS

【夏普（SHARP）】

EL-W82TL

复数与相量的数学基础

对任意两实数

，

，称

为复数，其中

。这里，

为虚数单位。

称为复数

的实部，记作

；

称为复数的虚部，记作

。电学中为避免与电流记号

混淆，改用

表示虚数单位。本文优先使用数学上惯用的

作为虚数单位记号，讲解电学上相量计算的问题时，文字、算式等描述部分采用

作为虚数单位记号，计算器示例中虚数单位仍然以

表示。

复数的代数形式：

复数的指数形式：

复数的三角形式：

指数形式和三角形式的关系——欧拉公式：

复数的极坐标形式，在电学中常被称为“相量”：

电学里面的相量

是表示的相同频率下正弦交流稳态电路中的电流或电压的幅值

和初相

，用于简化电路的分析及计算。但是阻抗

、感抗

、容抗

在计算的时候一般还是使用复数的代数形式（例如

），因此在电学相量计算中，经常涉及到复数代数形式与极坐标形式的混合运算，一般具有复数功能的计算器能够直接同时计算包含复数的代数形式以及极坐标形式的算式，因此能够大大提高计算的效率。

在有复数计算功能的计算器上进行复数与相量的计算

【卡西欧（CASIO）fx-991CN X的复数与相量的计算】

我们先以fx-991CN X为例。需要计算复数时，要按[菜单]、[2]进入复数模式。其中虚数单位

直接按[ENG]键输入，相量（极坐标形式）辐角符号“∠”按[SHIFT]、[ENG]键输入。例如：

注意：使用极坐标形式（相量）的时候要特别注意计算器的角度单位是否和要计算的角度单位一致。如果计算出现问题，应该进入设置调整到正确的角度单位。

按[SHIFT]、[菜单]进入设置，“复数”一项可以指定默认的复数输出结果为代数形式（a+bi）还是极坐标形式（r∠θ，相量）。当指定默认的输出结果为代数形式（a+bi）时，屏幕上方会显示一个“i”；而指定默认的输出结果为极坐标形式（r∠θ，相量）时，屏幕上方会显示一个“∠”，例如：

除四则运算之外，fx-991CN X还能够计算复数的任意整数次幂：

fx-991CN X的其他复数计算的功能菜单按[OPTN]键查看：

辐角计算、共轭复数、实部提取、虚部提取计算举例：

不过不要忘了，按键[ ( ]的第二功能“Abs”不仅是绝对值的功能，在复数计算模式中还可以用来计算复数的模：

当我们不愿意去频繁地更改设置默认的复数输出结果形式时，可以采用[OPTN]键菜单第二页的“→r∠θ”和“→a+bi”命令用于将复数临时转化为指定的结果形式：

【卡西欧（CASIO）fx-991ES PLUS的复数与相量的计算】

我们再以fx-991ES PLUS为例。fx-991ES PLUS需要计算复数时，要按[MODE]、[2]进入复数模式（CMPLX）。其中虚数单位

直接按[ENG]键输入，但是相量（极坐标形式）辐角符号“∠”的按法和fx-991CN X不同，是按[SHIFT]、[ (-) ]键输入。例如：

fx-991ES PLUS不会像CLASSWIZ系列的fx-991CN X那样在屏幕上方显示默认复数输出结果形式，但是仍然可以按[SHIFT]、[MODE]进入SET UP，在第二页的“CMPLX”一项中设置默认输出结果：

这里同样需要注意使用极坐标形式（相量）的时候计算器的角度单位是否和要计算的角度单位一致。

fx-991ES PLUS默认只能使用[

]、[

]、[

]三个键计算复数的整数幂，可以基于这三个按键来叠加出其他的整数次幂，不能直接使用[

]键去计算复数的平方、立方、倒数之外的整数次幂，否则会报数学错误：

fx-991ES PLUS的其他复数计算功能函数要按[SHIFT]、[2]查看，包括arg（辐角）、Conjg（共轭复数）、→r∠θ（转化为极坐标形式、辐角）、→a+bi（转化为代数形式），[hyp]的第二功能键[Abs]也有复数的模的计算功能，不过没有实部提取和虚部提取。这些功能的使用方法和fx-991CN X类似：

【夏普（SHARP）EL-W991TL的复数与相量的计算】

注意：夏普EL-W991TL的复数模式不能以自然书写的方式输入和输出计算结果。

夏普EL-W991TL进入复数模式是按[MODE]、[3]进入，其中虚数单位

按[D°M'S]键直接输入，相量（极坐标）辐角符号“∠”按[2ndF]、[，(x,y)]键输入，例如：

由于EL-W991TL的度分秒输入键[D°M'S]在复数模式下变成了虚数单位输入键，因此不能像卡西欧计算器那样输入“45°”。

EL-W991TL切换默认的复数输出结果形式的方法是直接按[2ndF]、[8]切换成极坐标形式（相量，→rθ）或者是[2ndF]、[9]切换成代数形式（→xy），计算器屏幕上相应地显示出“rθ”或者“xy”表示当前默认的输出形式。例如：

EL-W991TL的复数整数次幂的计算限制和fx-991ES PLUS一致，只能计算平方、立方、倒数，其他整数次幂的计算需要叠加，如果直接使用乘方键[

]计算会报错：

从上图可以注意到，夏普EL-W991TL在复数计算模式下无法使用分数键[a b/c]以及分数功能。

夏普EL-W991TL的其他复数计算功能函数的菜单在[MATH]按键中，包括conj（共轭复数）、arg（相量辐角）、real（实部提取）、img（虚部提取）四个函数，负号键[ (-) ]的第二功能[abs]也有复数的模的计算功能。这些功能函数使用方法和fx-991CN X等类似：

对于代数形式（a+bi）和极坐标（相量）形式（r∠θ）的相互转换，EL-W991TL是在计算出结果之后，转换成另外一种输出形式，默认的复数结果输出形式也随之改变，没有临时转换的功能：

要注意的一些问题

也许有读者注意到了，我们介绍完上面这些科学计算器的复数计算功能的时候没有开方、指数函数、三角函数等内容的计算，这是因为科学计算器不具备这些功能，如果尝试计算这些式子的话，计算器会直接报错：

那么是不是在这些科学计算器上就对于这些式子就完全没法处理了呢？答案是否定的。虽然没有直接计算的功能，但我们能灵活运用复变函数的相关知识来处理这样的计算。有关这一内容这里暂不讨论，我们将在“提高篇”为大家介绍。

在没有复数计算功能的计算器上进行复数与相量的计算

对于前言部分列出的那些没有复数计算功能的计算器来说，如何完成复数或相量的计算呢？我们以卡西欧fx-82CN X 中文版计算器为例进行相应的讲解，其他计算器的计算方法相似。

我们先介绍普通科学计算器上的一类重要的功能——坐标转换。

【坐标转换功能】

普通科学计算器上都带有直角坐标-极坐标互换的功能，即Pol(x,y)函数和Rec(r,θ)函数。

（夏普计算器上是先输入坐标值，然后输入“→rθ”或“→xy”。）

Pol(x,y)函数将直角坐标(x,y)转换为极坐标(r,θ)：

Rec(r,θ)函数则是将极坐标(r,θ)转换为直角坐标(x,y)：

单纯使用这两个功能，效果和复数计算结果形式的转换是一样的。例如：

计算完毕后，两个坐标值会被分别赋值给计算器上的变量X和Y。这是我们后续执行计算的基础。然后我们就可以根据复数的运算规则，借助坐标转换函数来解决复数计算的问题。

【复数的基本运算】

设：

复数的加法：使用代数形式，实部与实部相加，虚部与虚部相加，即：

复数的减法：使用代数形式，实部与实部相减，虚部与虚部相减，即：

复数的乘法：使用三角形式或极坐标形式（相量），模与模相乘，辐角与辐角相加，即：

复数的除法，使用三角形式或极坐标形式（相量），模与模相除，辐角与辐角相减，即：

复数的整数次幂：使用三角形式或极坐标形式（相量），模是底数的模的整数次幂，辐角是底数的辐角的整数倍，即：

有了这些公式，结合坐标变换功能，我们就可以在不具备复数计算功能的计算器上完成复数的基本计算了。

【无复数计算功能的计算器上实现复数计算】

我们以fx-82CN X为例进行讲解，其他型号方法相同，可以参考。

复数加减法的计算：涉及到相量时，先转化为代数形式（直角坐标），然后再计算。

例如计算

：

上面的计算过程可以描述为，先把第一个相量（极坐标）转换成代数形式（直角坐标），然后将第一步计算的坐标分别赋值给变量A和变量B，用于记录，再把第二个相量转换成代数形式，最后分别计算实部与虚部相加的结果。复数减法的操作以此类推。

复数乘除法的计算：涉及到代数形式时，先转化为极坐标形式（相量），然后再计算。

例如计算

：

上面这个过程可以描述为，先把第一个复数转化成极坐标（相量），然后将第一步计算的坐标分别赋值给变量A和变量B，用于记录，再把第二个复数转化成极坐标（相量），最后再使用一次Rec函数，将模的乘积、辐角的和（即极坐标结果）转换回代数形式。复数除法的操作以此类推。

复数整数次幂的计算：涉及到代数形式时，先转化成极坐标形式（相量），然后再直接将计算结果的极坐标（模的整数次幂、辐角的整数倍）使用Rec转换回直角坐标（代数形式），然后调用变量x、y查看实部和虚部计算结果。

例如计算

：

总结

从上面的讲解中我们可以看到，使用带有复数功能的旗舰型号计算器（例如卡西欧fx-991CN X中文版）可以很方便地完成复数的基本计算，而没有复数计算功能的普通科学计算器，也能够通过坐标转换来间接完成复数的基本计算。

这一篇文章所介绍的是复数的基本计算，对于复数的开方、复数的指数函数、复数的三角函数等复杂的计算，虽然科学计算器无法像上面那样能够直接计算，但我们仍然可以利用计算器本身的功能，根据复变函数的数学知识间接地完成这些计算。有关这些内容，我们将在“提高篇”为大家介绍。

标签： 计算 复数 坐标 科学 整数